Costruire una piramide retta

Oggi mi sono divertito a costruire una piramide retta, non regolare, in cui è evidenziato il triangolo rettangolo formato da altezza, apotema di base e apotema della piramide.

Voglio qui spiegare come creare questo oggetto, dato che la sua realizzazione fa capire molto bene la definizione di piramide retta, una definizione che sembra inutilmente complicata. Ecco il materiale occorrente:

Innanzitutto bisogna disegnare lo sviluppo. Questo è il disegno che ho realizzato con geogebra.

Faccio notare che apotemi di base (gialli) e apotemi sono allineati (perché perpendicolari allo stesso segmento) e che scelta la lunghezza di un apotema gli altri devono essere uguali. Con queste indicazioni è abbastanza facile fare il disegno anche con riga e compasso.

Iniziamo. Incollare i disegni su cartoncino

e ritagliare, incidendo poi leggermente i lati del poligono per piegarli più facilmente. Il pezzo a forma di deltoide servirà per fare il triangolo rettangolo centrale.

Inserire una puntina - possibilmente senza rivestimento - esattamente al centro della base (dall'esterno).

Tagliare lo stecchino alla misura giusta (cioè un po' meno del lato rosso del deltoide) e inserirlo delicatamente sulla puntina. Il deltoide va inciso e poi piegato lungo la linea blu in modo da formare un triangolo rettangolo. Se necessario ritagliare leggermente il cateto rosso per poter attaccare lo stecchino con un pezzo di scotch.

Colorare i tre lati del triangolo rettangolo

e inserirlo sulla puntina (magari con un goccio di colla, ma facendo attenzione che si attacchi alla puntina e non alla base).

In questo modo il triangolo rettangolo centrale può ruotare e rendere visibile il fatto che, anche se il poligono ha lati diversi e le facce non sono triangoli uguali né isosceli, il triangolo altezza - apotema di base - apotema è sempre lo stesso. Infatti la circoscrivibilità della base fa sì che i segmenti gialli siano tutti uguali, e dato che l'altezza è unica, per il teorema di Pitagora le altezza della facce laterali sono tutte uguali e quindi possono avere un unico nome: apotema.